SƏRHƏD ŞƏRTLƏRİ SPEKTRAL PARAMETRDƏN ASILI OLAN BƏZİ DİFERENSİAL OPERATORLARIN SPEKTRAL XASSƏLƏRİ

Sumqayıt şəhər A. Şükürov adına

25 nömrəli tam orta məktəbin
direktoru,

Sumqayıt Dövlət Universitetinin doktorantı

Müasir riyaziyyatda və tətbiqi elmlərdə bir çox proseslər diferensial tənliklər vasitəsilə modelləşdirilir. İstilik ötürülməsi, dalğa yayılması, mexaniki titrəyişlər və kvant mexanikası kimi sahələrdə bu cür tənliklər əsas rol oynayır. Bu tənliklərin həlli zamanı isə əsas anlayışlardan biri diferensial operator və onun spektral xassələridir.
Xüsusilə sərhəd şərtləri spektral parametrdən asılı olan diferensial operatorlar klassik məsələlərdən fərqli yanaşma tələb edir və bu səbəbdən elmi tədqiqat baxımından böyük maraq doğurur.

Diferensial operator və spektr anlayışı.
Sadə dillə desək, diferensial operator funksiyaya təsir edən və onun törəmələrini özündə birləşdirən riyazi ifadədir. Məsələn,
L(y) = − y′′
kimi ifadə bir diferensial operatordur.

Bu operatorla bağlı əsas məsələlərdən biri onun özqiymətləri və özfunksiyalarıdır. Özqiymətlər çoxluğuna operatorun spektri deyilir. Spektr operatorun “davranışını” xarakterizə edən əsas göstəricidir.
Sadə misal:mexaniki sistemdə titrəyişlərin tezlikləri spektrə uyğun gəlir.

Spektral parametr nədir?
Spektral parametr adətən λ (lambda) ilə işarə olunur və diferensial tənlikdə və ya sərhəd şərtlərində iştirak edən dəyişəndir. Klassik məsələlərdə bu parametr yalnız diferensial tənliyin özündə olur. Lakin bəzi daha mürəkkəb məsələlərdə spektral parametr sərhəd şərtlərinin daxilində də iştirak edir. Məsələn:
y′(0) + λy(0) = 0

Bu halda sərhəd şərti λ-dan asılı olur ki, bu da məsələnin təbiətini köklü şəkildə dəyişir.

Spektral parametrdən asılı sərhəd şərtlərinin mahiyyəti.
Sərhəd şərtləri spektral parametrdən asılı olduqda:
- məsələ qeyri-standart xarakter alır;
- özqiymətlərin sayı və yerləşməsi dəyişir;
- spektrin quruluşu daha mürəkkəb olur.
Bu tip məsələlərdə klassik Sturm–Liouville nəzəriyyəsi birbaşa tətbiq edilə bilmir və yeni metodlara ehtiyac yaranır.

Spektral xassələr nəyi ifadə edir?

Spektral xassələr dedikdə aşağıdakılar başa düşülür:
özqiymətlərin mövcudluğu və sayı;
onların real və ya kompleks olması;
asimptotik davranışı (böyük qiymətlərdə necə dəyişməsi);
özfunksiyaların ortoqonallığı və tamlığı.

Bu xassələr operatorun həllərinin necə davranacağını və fiziki sistemlərin stabilliyini müəyyən edir.

1. Mövzunun riyazi əhəmiyyəti.
Bu tədqiqat sahəsi:

operatorlar nəzəriyyəsinin inkişafına töhfə verir;
qeyri-klassik spektral məsələlərin öyrənilməsini təmin edir;
yeni analitik metodların yaradılmasına şərait yaradır.

2. Fiziki tətbiqlər.
Spektral parametrdən asılı sərhəd şərtləri:

kvant mexanikasında qeyri-adi potensialların modelləşdirilməsində;
elastiklik nəzəriyyəsində xüsusi sərhəd təsirlərinin öyrənilməsində;
dalğa bələdçilərində enerji itkilərinin analizində istifadə olunur.

3. Mühəndislik və texnologiya.
Bu cür operatorlar:

rezonans hadisələrinin düzgün hesablanmasına;
konstruksiyaların stabillik analizinə;
idarəetmə sistemlərinin modelləşdirilməsinə imkan yaradır.

Sərhəd şərtləri spektral parametrdən asılı olan diferensial operatorların spektral xassələrinin öyrənilməsi həm nəzəri, həm də tətbiqi baxımdan böyük əhəmiyyət kəsb edir. Bu mövzu klassik riyazi modellərin imkanlarını genişləndirir və real fiziki proseslərin daha dəqiq təsvirinə şərait yaradır.

Sadə dildə desək, bu tədqiqatlar mürəkkəb sistemlərin “daxili sirlərini” açmağa və onların davranışını əvvəlcədən proqnozlaşdırmağa kömək edir.

Xülasə:

Məqalədə sərhəd şərtləri spektral parametrdən asılı olan diferensial operatorların spektral xassələri sadə dildə izah edilir. Diferensial operator anlayışı, spektr və spektral parametrin mənası açıqlanır, bu tip məsələlərin nə üçün klassik diferensial tənliklərdən fərqləndiyi göstərilir. Mövzunun riyaziyyat, fizika və mühəndislik sahələrində tətbiqi və elmi əhəmiyyəti vurğulanır.

Ədəbiyyat:

1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. Москва:Наука, 1969.
2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977.
3. Binding P. A., Browne P. J. Spectral theory of second-order differential equations with eigenparameter dependent boundary conditions. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 1992.
4. Birman, M. Sh., Solomyak, M. Z. Spectral Theory of Self-Adjoint Operators in Hilbert Space. Springer, 1987.
5. Hinton D. B., Shaw J. K. Differential operators with spectral parameter dependent boundary conditions. Journal of Differential Equations, 1987.

31 dekabr 2025-ci il.

Tarix: Bu gün, 06:30

Xəbəri paylaş